Back                                  Knutselwerkjes                                                                     PZC 21-9-2001
 

De wereld van het probleemschaak heeft facetten, waar de gewone huisschaker en zelfs sommige topschakers geen weet hebben. De gewone problemen en eindspelstudies kent iedereen wel, maar het wordt anders als mathematici zich met het spel gaan bemoeien. Die gaan een weg op, die, zacht gezegd, ver verwijderd is van het alledaagse. Men werkt met ingewikkelde wiskundige formules om op het oog eenvoudige problemen op te lossen. Om een indruk te geven hoe het daar toegaat een eenvoudig voorbeeld.

 

Een constructie van de Finse probleemcomponist Olavi Riihimaa uit 1962.

Deze voor de probleemcomponist niet ongewone stelling is een zogenaamd serie-zelfpatprobleem. Wit doet 36 zetten achtereen en zet zichzelf pat. De zwarte koning doet niets. Hoe gaat dat in zijn werk? Wit zet zijn torens op respectievelijk b8 en g8. Hij marcheert met de b t/m g- pionnen door tot de 7e rij. Verder kunnen ze niet. De randpionnen gaan naar a8 en h8 en promoveren tot loper. Dan staat wit pat.
Maar dat is het probleem niet! De opgave luidt namelijk: hoeveel verschillende oplossingen zijn er? Met andere woorden: Hoeveel verschillende zetvolgordes zijn er mogelijk? Dat is slechts op te lossen door een beetje wiskunde toe te passen. Daar zullen we u niet mee vervelen. Het moet leuk blijven.
De oplossing is: Er zijn 93 873 436 053 649 778 225 700 000 000 mogelijke zetvolgordes om de slotstelling te bereiken!!Dat had u waarschijnlijk al gedacht! Hoeveel is dat? Buitengewoon veel. Als u al de mogelijke zetten zou moeten opschrijven, heeft u wel een een paar velletjes papier nodig. Stel, dat men voor één oplossing 6 vierkante centimeter nodig heeft, dan is voor alle oplossingen een oppervlakte nodig, die 100 000 000 000 keer groter is dan de oppervlakte van de aarde! Als u nog wat vrije tijd over heeft kunt u het even natellen.

Een jaar of twintig (!) geleden stond in deze rubriek ook eens een probleem waar een groot getal aan te pas kwam. Toen kwamen er een reactie binnen met het verzoek of de schaakmedewerker alstublieft de lezers niet voor de gek wilde houden.

Natuurlijk wordt ook de kansberekening op het schaakspel losgelaten.
Een eenvoudig probleempje. Stel dat men van de beginstelling willekeurige zetten doet. Het moeten wel zetten zijn, die gehoorzamen aan de spelregels. Wat is dan de meest waarschijnlijke met mat eindigende ‘partij’? Er zijn twee oplossingen: 1.f3 e6 2.g4 Dh4 mat en 1.f3 e5 2.g4 Dh4 mat. Het gekkenmat. Bij nader inzien natuurlijk niet erg verrassend. Bij meer zetten groeit het aantal mogelijke zetten immers enorm en de kans, dat een van hen op het bord komt neemt navenant af. **
Tweede vraag: Hoe groot is de kans, dat die partij ook op het bord komt? Dan moet men even kijken hoeveel mogelijke zetten beide partijen in het partijtje hebben. In de beginstelling heeft wit 20 mogelijke zetten, 16 pionzetten en 4 paardzetten. Zwart eveneens. Bij de tweede zet heeft wit 19 mogelijke zetten en zwart 30. Met een beetje puzzelen is dat na te tellen. De kans, dat het gekkenmat dus op het bord komt is 1 op 20x20x19x30=1 op 228000. Dat valt toch reuze mee.

Het kan nog eenvoudiger: Van de uitgangsstelling worden volkomen willekeurige zetten gedaan. Wat is de meest waarschijnlijke stelling na de tweede zet van zwart?  Oplossing: Dat is de beginstelling!! Dat lijkt bijna een filosofisch antwoord. De partij: 1e zet: Wit doet een paardzet, zwart doet een paardzet. 2e zet: Wit zet zijn paard terug, zwart zet zijn paard terug!! De vraag hoe groot de kans is, dat die op het bord komt, is wat lastiger. Die laten we graag aan de lezer over.

Dat was allemaal ingewikkeld en geleerd. Daarom nog iets wat op een normaal probleem lijkt.

K.Fabel en N.Petrovic, 1953.  

De opgave luidt: Geef mat in één zet!! Dat lijkt buitengewoon eenvoudig. Het ligt immers voor de hand om 0–0, Ke2, of Lxe5 met mat de doen. Als u dat dacht, heeft u iets over het hoofd gezien. Een schaakprobleem moet van een stelling uitgaan, die op reglementaire wijze is ontstaan. Het is namelijk niet mogelijk, dat wit aan zet is. Wat zou dan zwarts laatste zet geweest kunnen zijn? g7-g6 kan niet, omdat de loper op h8 via g7 naar h8 is gegaan. Stel, dat e7-e5 de laatste zet was, bedoeld om het schaak van Lh8 op te heffen. Dan moet wits laatste zet Tf6-b6, met aftrekschaak, geweest zijn. Maar met de pion op e7 heeft zwart geen voorlaatste zet. Wit kan dus niet en passant slaan. Kan zwarts laatste zet niet f7xg6 zijn geweest? Zwart moet dan op g6 een paard hebben geslagen. Nee dat kan ook niet, want met de pion op f7 heeft zwart ook geen voorlaatste zet. Dus niet wit, maar zwart is aan zet. 1.d7-d6 Of 1.Lxb5 Lxe5 mat. 1….Ke1-e2 mat. 
 

** Dat antwoord klopt niet helemaal. Er zijn nog twee antwoorden. Zie u ze?